Når de fleste af os ser en taffy-trækkende maskine, der trækker sig væk på en turistisk strandpromenade, tænker vi på søde, søde sukker. Jean-Luc Thiffeault tænker på sød, sød matematik. Som anvendt matematiker ved University of Wisconsin-Madison er Thiffeault især interesseret i, hvordan materialer som taffy blandes: I maskinen strækkes og foldes slik igen og igen for at integrere luft og udvikle sin lette, seige struktur. Når det trækkes, strækkes det oprindelige rektangel af taffy mere og mere - dens længde vokser eksponentielt med det samme forhold hver gang. Det strækningsforhold er det, der interesserer Thiffeault.
Relateret indhold
- Smeltet bevis chokolade, 3D-trykte gummier og andre fascinerende slikpatenter
Når en person trækker taffy, tager de generelt klumpen med slik og strækker den ud over en krog og bringer de to ender sammen. Så tager de det foldede stykke og strækker det ud over krogen igen, fordobler længden og så videre. Med andre ord, ”Den menneskelige måde at gøre det på er en multiplikationsfaktor på 2, ” siger Thiffeault. Mekaniske trækkere kan gøre det bedre, hvilket ofte giver større, eksotiske irrationelle tal som deres strækningsfaktorer.
Det viser sig, at taffy pulling kan modelleres af et abstrakt felt i matematik kendt som topologisk dynamik, i det væsentlige studiet af langvarige, store skalaer over tid i et matematisk rum. (Hvis ordet topologisk lyder velkendt, var det i nyhederne for nylig som en del af dette års Nobelpris i fysik.) Den samme matematik, der beskriver taffy-pulling, har også mere alvorlige anvendelser: mange industrielle processer, herunder glasblæsning og lægemiddelforberedelse, kræver viskøse væsker, der skal blandes på måder, der er mere som at trække taffy end omrøre fløde i kaffe. ”Hvis du prøver at røre virkelig tyktflygtige ting, som pasta inden for farmaceutisk industri, kan du ikke bare ryste dem, ” siger Thiffeault. ”Det er ikke som at blande maling.”
Thiffeault har forstået taffy-pulling som et eksempel på viskøs blanding i lang tid, men først for nylig har han faktisk kigget på taffy-pullers historie for at afsløre deres matematiske hemmeligheder. Resultatet af denne udflugt til historiske patenter er hans nylige artikel "En matematisk historie med taffy-pullere", der blev offentliggjort på preprint-serveren arXiv i juli.
Et billede fra et patentmaskinepatent fra 1916, der vises i Thiffeaults undersøgelse. Specifikt er det område, der førte til hans dybde med taffy-puller, studiet af, hvad der kaldes pseudo-Anosov-kortlægninger. Pseudo-Anosov er en fancy måde at beskrive en proces, hvor en to-dimensionel form strækkes eksponentielt i den ene retning, mens den krymper i den anden. Matematisk er undersøgelsen af pseudo-Anosov-kortlægninger relativt ny. ”I 70'erne og 80'erne prøvede folk meget hårdt at finde eksempler, ” siger Thiffeault. Ironisk nok var de der hele tiden i patenter for taffy-pullere. ”Fordi matematikere aldrig kiggede på denne litteratur, ville de aldrig have vidst, at de eksisterede, ” siger han.
Mens han kæmpede igennem taffy-puller-patenter, snublede Thiffeault over en juridisk kamp, der gik hele vejen til Højesteret. Det drejede sig om sagen i 1921, Hildreth v. Mastoras, hvor bredt et 1900-patent for en taffy-puller skulle fortolkes. Det vil sige: blev en senere model lavet af en anden blot en mindre forbedring, eller var det en anden enhed? En vigtig del af argumentet var, hvor anderledes patentet fra 1900 var fra en forgænger fra 1893 (som sandsynligvis aldrig blev fremstillet). Domstolens udtalelse, der er forfattet af Chief Justice William Howard Taft, "viser et skarpt greb om topologisk dynamik, " skriver Thiffeault i sin artikel.
Retten anerkendte, at den tidligere enhed - som kun havde to kroge - ikke kunne have strakt taffien til den eksponentielle grad, der kræves for effektiv oprettelse af konfekt. Taft siger:
Med kun to kroge kunne der ikke være nogen overlapning af sliket, fordi der ikke var nogen tredje stift til at genindgøre slik, mens det blev holdt mellem de to andre stifter. Bevægelsen af de to stifter i koncentriske cirkler kan måske strække det noget og røre det, men det ville ikke trække det i betydningen af kunsten.
Thiffeault skriver, "Højesteret-udtalelsen viser den grundlæggende indsigt i, at der kræves mindst tre stænger for at producere en slags hurtig vækst."
Thiffeault siger, at der er to standard taffytrækkere i brug i dag, en med tre stænger og en med fire. De har tilfældigvis den samme strækningsfaktor. Det er relateret til det såkaldte sølvforhold, 1+ √2, eller ca. 2.414, en lidt mindre lysende fætter i det mere berømte gyldne forhold.
At de to standard taffy-pullere strækker sig med sølvforholdet er interessant, fordi sølvforholdet er - i en præcis matematisk forstand - optimal. Thiffeault advarer dog om, at det ikke er så nemt at rangere forskellige taffy-trækkere, selv når du kender deres strækningsfaktorer: ”Der er et æble- og appelsinaspekt til det, som er ret svært at komme rundt, ” siger han. En trækker kan have flere stænger og tage længere tid at vende tilbage til sin oprindelige tilstand end en anden, eller det kan kræve mere drejningsmoment eller mere kompliceret gearing. Så selvom matematik giver en vis indsigt i, hvor godt taffy-pullers trækker, fortæller den ikke den fulde historie.
Thiffeaults undersøgelse af taffy-pullere inspirerede ham og hans bachelorstuderende Alex Flanagan til at opbygge deres egen model. De ønskede at se, om de kunne øge effektiviteten uden at ændre tandhjulene meget, og endte med at lave en ny 6-stavs-trækker baseret på gearet til den standard 4-stavtrækker. ”Årsagen til, at vi var i stand til det, er, at vi har matematik nu, ” siger Thiffeault. De kunne modellere maskinen i vid udstrækning på computeren og omgå meget af prøven og fejlen med ægte fysiske enheder, som tidligere opfindere måtte gøre. 6-stavsenheden, som stadig kun er en prototype, strækker taffy cirka dobbelt så meget som standardtrækkerne i hver cyklus.
Indtil videre har taffy-puller-producenterne ikke nøjagtigt slået Thiffeaults dør for at få hans råd om at optimere deres design - Big Taffy er tilsyneladende tilfreds med sin strækbare status quo - men han håber, at hans metoder kunne have effekt i andre brancher. Udover glasblæsning er et logisk sted for blanding af optimering farmaceutisk industri. Når alt kommer til alt kræver blanding af vitaminer og medikamenter ekstrem høj kvalitetskontrol: Producenter er "villige til at betale en masse penge for perfekt blanding", fordi de "ikke kan tolerere en dårlig multivitamin ud af 1000, " siger Thiffeault. Så en dag kan apotekere muligvis give et søde råb til de hengivne taffy-trækkere i yore.
Så igen, det kan være lidt af en strækning.
