Du har sandsynligvis stødt på ensidige genstande hundreder af gange i din daglige liv - ligesom det universelle symbol til genanvendelse, der findes trykt på ryggen på aluminiumsdåser og plastflasker.
Dette matematiske objekt kaldes en Mobius-strip. Det har fascineret miljøforkæmpere, kunstnere, ingeniører, matematikere og mange andre lige siden det blev opdaget i 1858 af August Möbius, en tysk matematiker, der døde for 150 år siden, den 26. september 1868.
Möbius opdagede den ensidige strimmel i 1858, mens han tjente som formand for astronomi og højere mekanik ved universitetet i Leipzig. (En anden matematiker ved navn Listing beskrev faktisk det et par måneder tidligere, men offentliggjorde ikke sit arbejde før 1861.) Möbius ser ud til at have stødt på Möbius-striben, mens han arbejdede med den geometriske teori om polyhedra, solide figurer sammensat af hjørner, kanter og flade ansigter .
En Möbius-strimmel kan oprettes ved at tage en papirstrimmel, give den et ulige antal halvvridninger og derefter binde enderne sammen igen for at danne en løkke. Hvis du tager en blyant og tegner en linje langs midten af strimlen, vil du se, at linjen tilsyneladende løber langs begge sider af løkken.
Konceptet med et ensidigt objekt inspirerede kunstnere som den hollandske grafiske designer MC Escher, hvis træsnit “Möbius Strip II” viser røde myrer, der kravler efter hinanden langs en Möbius-strip.
Möbius-strimlen har mere end blot en overraskende egenskab. For eksempel, prøv at tage et saks og klippe strimlen i halvdel langs den linje, du lige har tegnet. Du kan blive overrasket over at opdage, at du ikke sidder tilbage med to mindre ensidige Möbius-strimler, men i stedet for med en lang tosidet løkke. Hvis du ikke har et stykke papir til rådighed, viser Eschers træsnit "Möbius Strip I", hvad der sker, når en Möbius-strimmel skæres langs dens midtlinie.
Mens striben bestemt har visuel appel, har dens største indflydelse været i matematik, hvor den hjalp med til at anspore til udviklingen af et helt felt kaldet topologi.
En topolog studerer egenskaber ved genstande, der er bevaret, når de flyttes, bøjes, strækkes eller vrides, uden at skære eller lime dele sammen. For eksempel er et sammenfiltret par ørepropper i en topologisk forstand det samme som et ufiltreret par ørepropper, fordi det at ændre det ene til det andet kun kræver bevægelse, bøjning og vridning. Ingen skæring eller limning er påkrævet for at transformere mellem dem.
Et andet par genstande, der er topologisk det samme, er en kaffekop og en doughnut. Fordi begge genstande kun har et hul, kan den ene deformeres til den anden ved blot at strække og bøje.
En krus morfores i en doughnut. (Wikimedia Commons) Antallet af huller i en genstand er en egenskab, der kun kan ændres ved skæring eller limning. Denne egenskab - kaldet et "slægt" af et objekt - giver os mulighed for at sige, at et par ørepropper og en donut er topologisk forskellige, da en donut har et hul, mens et par ørepropper ikke har huller.
Desværre ser en Möbius-strimmel og en tosidet løkke, som et typisk armbånd til silikonebevidsthed, begge ud til at have et hul, så denne egenskab er utilstrækkelig til at adskille dem fra hinanden - i det mindste set fra en topolog.
I stedet kaldes egenskaben, der adskiller en Möbius-strimmel fra en tosidet sløjfe orienteringsevne. Ligesom dets antal huller, kan objektets orienteringsevne kun ændres ved skæring eller limning.
Forestil dig at skrive dig selv en note på en gennemgående overflade og derefter tage en tur rundt på den overflade. Overfladen er orienterbar, hvis du altid kan læse notatet, når du kommer tilbage fra din tur. På en ikke-orienterbar overflade kommer du måske tilbage fra din tur for at finde ud af, at de ord, du skrev, tilsyneladende er blevet til deres spejlbillede og kun kan læses fra højre til venstre. På den tosidede sløjfe læser notatet altid fra venstre til højre, uanset hvor din rejse tog dig.
Da Möbius-strimlen ikke kan orienteres, mens den tosidede sløjfe er orienterbar, betyder det, at Möbius-strimlen og den tosidede sløjfe er topologisk forskellige.
(Oprettet af David Gunderman) Når GIF starter, er de punkter, der er anført med uret, sort, blå og rød. Vi kan dog flytte den tre-punkts konfiguration rundt om Möbius-strimlen, så figuren er på samme sted, men farverne på de prikker, der er anført med uret, er nu rød, blå og sort. På en eller anden måde har konfigurationen ændret sig til sit eget spejlbillede, men alt hvad vi har gjort er at flytte den rundt på overfladen. Denne transformation er umulig på en orienterbar overflade som den tosidede sløjfe.
Begrebet orienteringsevne har vigtige konsekvenser. Tag enantiomerer. Disse kemiske forbindelser har de samme kemiske strukturer undtagen for en nøgleforskel: De er spejlbilleder af hinanden. For eksempel er den kemiske L-methamphetamine en ingrediens i Vicks Vapor Inhalers. Dets spejlbillede, D-methamphetamine, er et ulovligt stof med klasse A. Hvis vi levede i en ikke-orienterbar verden, ville disse kemikalier ikke kunne skelnes.
August Möbius opdagelse åbnede nye måder at studere den naturlige verden på. Undersøgelsen af topologi giver fortsat fantastiske resultater. For eksempel førte topologien sidste år videnskabsmænd til at opdage mærkelige nye tilstande. Årets Fields-medalje, den højeste ære i matematik, blev tildelt Akshay Venkatesh, en matematiker, der hjalp med at integrere topologi med andre områder såsom talteori.
Denne artikel blev oprindeligt offentliggjort på The Conversation.
David Gunderman, ph.d. studerende i anvendt matematik, University of Colorado og Richard Gunderman, kanslerprofessor i medicin, liberal kunst og filantropi, Indiana University
