Den 20. marts modtog den amerikansk-canadiske matematiker Robert Langlands Abelprisen, der fejrer livstidspræstationer i matematik. Langlands 'forskning demonstrerede, hvordan koncepter fra geometri, algebra og analyse kunne samles ved et fælles link til primtal.
Når kongen af Norge uddeler prisen til Langlands i maj, vil han ære det seneste i en 2.300-årig indsats for at forstå primtal, uden tvivl det største og ældste datasæt i matematik. Som matematiker, der er viet til dette “Langlands-program”, er jeg fascineret af historien med primtal og hvordan de nylige fremskridt driller deres hemmeligheder ud. Hvorfor har de betaget matematikere i årtusinder?
For at studere primater, stammer matematikere hele tal gennem det ene virtuelle net efter det andet, indtil kun primater er tilbage. Denne sigtningsproces producerede tabeller med millioner af primoer i 1800-tallet. Det giver nutidens computere mulighed for at finde milliarder primes på mindre end et sekund. Men kerneideen om sigten er ikke ændret på over 2.000 år.
”Et primtal er det, der måles af enheden alene, ” skrev matematikeren Euclid i 300 f.Kr. et primtal. Euclid beviste uendeligheden af primer - de fortsætter for evigt - men historien antyder, at det var Eratosthenes, der gav os silen til hurtigt at liste over primerne.
Her er ideen om sigten. Filtrer først multipla af 2, derefter 3, derefter 5 og derefter 7 - de første fire primater. Hvis du gør dette med alle tal fra 2 til 100, forbliver kun primtall.
Sigtning af multipler på 2, 3, 5 og 7 efterlader kun primerne mellem 1 og 100. (Med tilladelse fra MH Weissman) Med otte filtreringstrin kan man isolere primerne op til 400. Med 168 filtreringstrin kan man isolere primerne op til 1 million. Det er kraften i sigten fra Eratosthenes.
**********
En tidlig figur i tabulering af primater er John Pell, en engelsk matematiker, der dedikerede sig til at skabe tabeller med nyttige tal. Han var motiveret til at løse gamle aritmetiske problemer med Diophantos, men også af en personlig søgen efter at organisere matematiske sandheder. Takket være hans indsats blev primerne op til 100.000 bredt cirkuleret i begyndelsen af 1700-tallet. I 1800 havde uafhængige projekter lagt tabellerne op til 1 million.
For at automatisere de kedelige sigtningstrin brugte en tysk matematiker ved navn Carl Friedrich Hindenburg justerbare skyder til at udstemple multipla på tværs af en hel side af et bord på en gang. En anden lavteknologisk, men effektiv fremgangsmåde anvendte stenciler til at lokalisere multipla. I midten af 1800-tallet havde matematikeren Jakob Kulik påbegyndt et ambitiøst projekt for at finde alle primes op til 100 millioner.
En stencil, der blev brugt af Kulik til at sigte multipladerne på 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Billede med tilladelse fra Denis Roegel, forudsat forfatter) Denne "big data" fra 1800-tallet har måske kun fungeret som referencetabel, hvis Carl Friedrich Gauss ikke havde besluttet at analysere primerne for deres egen skyld. Bevæbnet med en liste over primer op til 3 millioner begyndte Gauss at tælle dem, en "chiliad" eller en gruppe på 1.000 enheder ad gangen. Han tællede primerne op til 1.000, derefter primerne mellem 1.000 og 2.000, derefter mellem 2.000 og 3.000 og så videre.
Gauss opdagede, at efterhånden som han tællede højere, blev primerne gradvist mindre hyppige i henhold til en "invers-log" -lov. Gauss 'lov viser ikke nøjagtigt, hvor mange primer der er, men det giver et ret godt skøn. For eksempel forudsiger hans lov 72 forbryderier mellem 1.000.000 og 1.001.000. Det rigtige antal er 75 primes, en fejl på 4 procent.
Et århundrede efter Gauss 'første udforskning blev hans lov bevist i “primtalssætningen”. Procentfejlen nærmer sig nul ved større og større intervaller. Riemann-hypotesen, et problem med en million dollars i dag, beskriver også, hvor nøjagtigt Gauss 'estimat virkelig er.
Prime number-sætningen og Riemann-hypotesen får opmærksomheden og pengene, men begge fulgte op på tidligere, mindre glamorøs dataanalyse.
.....
I dag kommer vores datasæt fra computerprogrammer snarere end håndskårne stenciler, men matematikere finder stadig nye mønstre i primes.
Bortset fra 2 og 5 slutter alle primtal på ciffer 1, 3, 7 eller 9. I 1800-tallet blev det bevist, at disse mulige sidste cifre er lige hyppige. Med andre ord, hvis du ser på primerne op til en million, ender ca. 25 procent på 1, 25 procent ender i 3, 25 procent ender på 7 og 25 procent ender på 9.
For et par år siden blev Stanford nummerteoretikere Lemke Oliver og Kannan Soundararajan fanget af vagten ved de sidste cifre af primerne. Et eksperiment kiggede på det sidste ciffer i en prim, såvel som det sidste ciffer i den næste prim. For eksempel er den næste start efter 23 29: Man ser en 3 og derefter en 9 i deres sidste cifre. Ser man 3 derefter 9 oftere end 3 derefter 7, blandt de sidste cifre?
Hyppighed af sidstcifrede par blandt på hinanden følgende primtal op til 100 millioner. Matchende farver svarer til matchende huller. (MH Weissman, CC BY) Antal teoretikere forventede en vis variation, men hvad de fandt langt overgik forventningerne. Primes adskilles af forskellige huller; for eksempel er 23 seks numre væk fra 29. Men 3-derefter-9 primes som 23 og 29 er langt mere almindelige end 7-derefter-3 primes, selvom begge kommer fra et hul på seks.
Matematikere fandt snart en rimelig forklaring. Men når det kommer til studiet af successive primater, er matematikere (for det meste) begrænset til dataanalyse og overtalelse. Beviser - matematikernes guldstandard til at forklare, hvorfor ting er sandt - synes årtier væk.
Denne artikel blev oprindeligt offentliggjort på The Conversation.
Martin H. Weissman, lektor i matematik, University of California, Santa Cruz
