Glen Whitney står på et punkt på jordoverfladen, nordlig breddegrad 40.742087, vestlig længde 73.988242, som ligger i nærheden af centrum af Madison Square Park, i New York City. Bag ham ligger byens nyeste museum, Museum for matematik, som Whitney, en tidligere Wall Street-erhvervsdrivende, grundlagde og nu driver som udøvende direktør. Han står over for et af New Yorks vartegn, Flatiron-bygningen, der fik sit navn, fordi dens kilelignende form mindede folk om et tøjjern. Whitney bemærker, at man fra dette perspektiv ikke kan fortælle, at bygningen, efter formen på dens blok, faktisk er en højre trekant - en form, der ville være ubrugelig til presning af tøj - selvom modeller, der sælges i souvenirbutikker, repræsenterer den i idealiseret form som en ensben, med lige vinkler ved basen. Folk ønsker at se tingene som symmetriske, mister han. Han peger på bygningens smalle bue, hvis kontur svarer til den akutte vinkel, hvor Broadway krydser Fifth Avenue.
Fra denne historie
[×] LUKKET
En tidligere hedgefonds “algoritmechef”, Glen Whitney, udledte formlen til det nye Museum of Mathematics. (Jordan Hollender) 
Fysiker Steven Koonin sigter mod at løse problemer i den virkelige verden, såsom overskydende støj og langsomme beredskabstider. (Jordan Hollender) 
Efterhånden som verden bliver stadigt mere urban, argumenterer fysiker Geoffrey West for at studere, snarere end stigmatiserende, byområder. (Dan Burn-Forti / Contour af Getty Images) 
Den systematiske undersøgelse af byer går mindst tilbage til den græske historiker Herodotus. (Illustration af Traci Daberko) 
Fotogalleri
"Tværgaden her er 23. gade, " siger Whitney, "og hvis du måler vinklen på bygningens punkt, er det tæt på 23 grader, hvilket også tilfældigvis er tilnærmelsesvis hellingsvinklen til Jordens rotationsakse."
”Det er bemærkelsesværdigt, ” siges han.
"Ikke rigtig. Det er tilfældighed. ”Han tilføjer, at den nedgående sol, to gange hvert år, et par uger på hver side af sommersolverv, skinner direkte ned ad rækkerne på Manhattan nummererede gader, et fænomen, der undertiden kaldes“ Manhattanhenge. ”Disse bestemte datoer gør det ikke har enhver særlig betydning, undtagen som endnu et eksempel på, hvordan selve mursten og sten i byen illustrerer principperne for det højeste produkt af det menneskelige intellekt, som er matematik.
Byerne er særlige: Du ville aldrig tage fejl af en favela i Rio de Janeiro for Los Angeles centrum. De er formet af deres historie og uheld med geografi og klima. Således løber de “øst-vestlige” gader i Midtown Manhattan faktisk nordvest-sydøst for at møde floderne Hudson og East i ca. 90 grader, mens gadenettet i Chicago er tæt på det rigtige nord, mens middelalderbyer som London ikke har retvinklede gitter. Men byer er også på et dybt niveau universelle: Produkterne fra sociale, økonomiske og fysiske principper, der overskrider rum og tid. En ny videnskab - så ny, at den ikke har sit eget tidsskrift eller endda et aftalt navn - udforsker disse love. Vi vil kalde det ”kvantitativ urbanisme.” Det er et forsøg på at reducere den kaotiske, sprudlende, ekstravagante natur til en af menneskehedens ældste og vigtigste opfindelser, byen, til matematiske formler.
Den systematiske undersøgelse af byer går mindst tilbage til den græske historiker Herodotus. I begyndelsen af det 20. århundrede opstod videnskabelige discipliner omkring specifikke aspekter af byudvikling: zoneringsteori, folkesundhed og sanitet, transit og trafikteknik. I 1960'erne brugte byplanlægningsforfatterne Jane Jacobs og William H. Whyte New York som deres laboratorium til at undersøge gaderne i kvartererne, gåmønstrene for fodgængere i Midtown, hvordan folk var samlet og sad i åbne rum. Men deres domme var generelt æstetiske og intuitive (skønt Whyte, der fotograferede pladen i Seagram Building, udledte sæde-til-bukseformlen til bænkeplads i offentlige rum: en lineær fod pr. 30 kvadratmeter åbent område). ”De havde fascinerende ideer, ” siger Luís Bettencourt, en forsker ved Santa Fe Institute, en tænketank, der er bedre kendt for sine bidrag til teoretisk fysik, ”men hvor er videnskaben? Hvad er det empiriske grundlag for at beslutte, hvilken slags byer vi ønsker? ”Bettencourt, en fysiker, praktiserer en disciplin, der deler en dyb tilknytning til kvantitativ urbanisme. Begge kræver forståelse af komplekse interaktioner mellem et stort antal enheder: de 20 millioner mennesker i New York storbyområde eller de utallige subatomære partikler i en nuklear reaktion.
Fødselen af dette nye felt kan dateres til 2003, da forskere ved SFI indkaldte en workshop om måder at ”model” - i den videnskabelige betydning af at reducere til ligninger - aspekter af det menneskelige samfund. En af lederne var Geoffrey West, der sportede et pænt trimmet gråt skæg og bevarer et spor af accenten fra hans oprindelige Somerset. Han var også en teoretisk fysiker, men havde forvillet sig til biologi og undersøgt, hvordan organismernes egenskaber hænger sammen med deres masse. En elefant er ikke kun en større version af en mus, men mange af dens målbare egenskaber, såsom stofskifte og levetid, styres af matematiske love, der gælder alle op og ned i størrelsesskalaen. Jo større dyret er, jo længere, men desto langsommere lever det: En musepuls er omkring 500 slag pr. Minut; en elefants puls er 28. Hvis du plottede disse punkter på en logaritmisk graf, når du sammenligner størrelse med puls, ville hvert pattedyr falde på eller i nærheden af den samme linje. West foreslog, at de samme principper kunne være på arbejde i menneskelige institutioner. Fra bagsiden af rummet blev Bettencourt (dengang ved Los Alamos National Laboratory) og José Lobo, en økonom ved Arizona State University (der havde hovedfysiologi som bachelor), chimeret ind med mottoet for fysikere siden Galileo: “Hvorfor don ' t får vi dataene til at teste dem? ”
Ud af dette møde fremkom et samarbejde, der producerede sædpapiret på området: ”Vækst, innovation, skalering og livets tempo i byer.” På seks sider tæt med ligninger og grafer, West, Lobo og Bettencourt, sammen med to forskere fra Dresden University of Technology, lagde en teori om, hvordan byer varierer afhængigt af størrelse. ”Hvad folk gør i byer - skaber rigdom eller myrder hinanden - viser et forhold til størrelsen af byen, en der ikke kun er bundet til en æra eller nation, ” siger Lobo. Forholdet er fanget af en ligning, hvor en given parameter - beskæftigelse, siger - varierer eksponentielt med befolkning. I nogle tilfælde er eksponenten 1, hvilket betyder, at alt, hvad der måles, stiger lineært i samme takt som populationen. Husholdningsvand eller elektrisk brug viser for eksempel dette mønster; når en by bliver større, bruger ikke beboerne deres apparater mere. Nogle eksponenter er større end 1, et forhold, der beskrives som "superlinær skalering." De fleste mål for økonomisk aktivitet falder inden for denne kategori; blandt de højeste eksponenter, de lærde fandt, var for "privat [forskning og udvikling] beskæftigelse, " 1, 34; "Nye patenter, " 1.27; og bruttonationalprodukt i intervallet 1, 13 til 1, 26. Hvis befolkningen i en by fordobles over tid, eller hvis man sammenligner en storby med to byer, der hver er halvdelen af størrelsen, brutto indenlandske produkt mere end fordobles. Hver enkelt person bliver gennemsnitligt 15 procent mere produktiv. Bettencourt beskriver effekten som "lidt magisk", selvom han og hans kolleger begynder at forstå de synergier, der gør det muligt. Fysisk nærhed fremmer samarbejde og innovation, hvilket er en af grundene til, at den nye administrerende direktør for Yahoo for nylig vendte virksomhedens politik om at lade næsten enhver arbejde hjemmefra. Wright-brødrene kunne bygge deres første flyvemaskiner af sig selv i en garage, men du kan ikke designe en jetflyvemaskine på den måde.
Desværre skalerer nye aids-tilfælde også superlinjært, 1, 23, ligesom alvorlig kriminalitet, 1.16. Endelig viser nogle målinger en eksponent på mindre end 1, hvilket betyder, at de stiger langsommere end befolkningen. Dette er typisk målinger af infrastruktur, kendetegnet ved stordriftsfordele, der skyldes stigende størrelse og densitet. New York har ikke brug for fire gange så mange tankstationer som Houston, for eksempel; tankstationer skaleret til 0, 77; vejenes samlede overfladeareal, 0, 83; og den samlede længde af ledninger i det elektriske net, 0, 87.
Bemærkelsesværdigt gælder dette fænomen for byer over hele verden i forskellige størrelser, uanset deres særlige historie, kultur eller geografi. Mumbai er forskellig fra Shanghai er naturligvis forskellig fra Houston, men i forhold til deres egne fortid og til andre byer i Indien, Kina eller USA følger de disse love. ”Giv mig størrelsen på en by i USA, og jeg kan fortælle dig, hvor mange politier det har, hvor mange patenter, hvor mange aids-tilfælde, " siger West, "ligesom du kan beregne et pattedyrs levetid ud fra dens kropsmasse."
En implikation er, at ligesom elefanten og musen, “store byer er ikke bare større små byer, ” siger Michael Batty, der driver Center for Advanced Spatial Analysis ved University College London. ”Hvis du tænker på byer med hensyn til potentielle interaktioner [blandt enkeltpersoner], når de bliver større, får du flere muligheder for det, hvilket svarer til en kvalitativ ændring.” Betragt New York Stock Exchange som en mikrokosmos af en metropol. I de første år var investorerne få og handlede sporadisk, siger Whitney. Derfor var der brug for “specialister”, formidlere, der holdt lagerbeholdning i bestemte virksomheder, og ville “skabe et marked” i aktierne, hvorved marginen mellem deres salgs- og købspris blev lukket. Men med tiden, da flere deltagere kom på markedet, kunne købere og sælgere lettere finde hinanden, og behovet for specialister - og deres overskud, som udgjorde en lille skat på alle andre - formindskede. Der er et punkt, siger Whitney, hvor et system - et marked eller en by - gennemgår et faseskift og omorganiserer sig selv på en mere effektiv og produktiv måde.
Whitney, der har en let bygning og en omhyggelig måde, går hurtigt gennem Madison Square Park til Shake Shack, en hamburgerstand, der er berømt for sin mad og dens linjer. Han peger på de to servicevinduer, det ene for kunder, der kan betjenes hurtigt, det andet for mere komplicerede ordrer. Denne sondring understøttes af en gren af matematik kaldet køteori, hvis grundlæggende princip kan angives som ”den korteste samlede ventetid for alle kunder opnås, når den person, der har den korteste forventede ventetid, serveres først, forudsat at den fyr, der ønsker fire hamburgere med forskellige toppings bliver ikke berserk, når han bliver ved med at blive sendt bagerst på linjen. ”(Dette antager, at linjen lukker på et bestemt tidspunkt, så alle får serveret efterhånden. Ligningerne kan ikke håndtere begrebet et uendeligt Vent.) Denne idé "virker intuitiv", siger Whitney, "men den måtte bevises." I den virkelige verden bruges køteori til design af kommunikationsnetværk til at beslutte, hvilken pakke data der først sendes.
Ved Times Square-metrostationen køber Whitney et billetkort, i et beløb, som han har beregnet for at drage fordel af bonusen ved at betale på forhånd og komme ud med et jævnt antal kørsler, uden at pengene er uudnyttet. Når passagererne skynder sig frem og tilbage mellem togene, taler han om matematikken ved at køre et transportsystem. Du tror måske, siger han, at et udtryk altid skal forlade, så snart det er klar, men der er tidspunkter, hvor det er fornuftigt at holde det på stationen - for at oprette forbindelse til et indgående lokale. Forenklet beregning er denne: Multiplicer antallet af mennesker på ekspresstoget med det antal sekunder, de vil blive holdt og venter, mens det går på tomgang i stationen. Estimer nu, hvor mange mennesker på den ankomst, der kommer, og overfør det, og multiplicer det med den gennemsnitlige tid, de vil spare ved at tage udtrykket til deres destination snarere end den lokale. (Du skal modellere, hvor langt passagerer der gider at skifte skifter.) Dette kan føre til potentielle besparelser i person-sekunder til sammenligning. Princippet er det samme i enhver skala, men det er kun over en bestemt befolkningsstørrelse, at investeringen i to-spor undergrundsbaner eller to-vindues hamburgerstande giver mening. Whitney går rundt i det lokale og kører mod centrum mod museet.
***
Det kan også let ses, at jo flere data du har om transitbrug (eller hamburgerordrer), desto mere detaljerede og nøjagtige kan du foretage disse beregninger. Hvis Bettencourt og West bygger en teoretisk videnskab om urbanisme, agter Steven Koonin, den første direktør for New York Universitys nyoprettede Center for Urban Science and Progress, at være i spidsen for at anvende det til reelle problemer. Koonin er, som det sker, også en fysiker, en tidligere Cal Tech-professor og assisterende sekretær for Energiministeriet. Han beskriver sin ideelle studerende, når CUSP begynder det første akademiske år i efteråret, som "nogen, der hjalp med at finde Higgs boson og nu vil gøre noget med sit liv, der vil gøre samfundet bedre." Koonin er en troende på det, der undertiden kaldes Big Data, jo større jo bedre. Kun i det sidste årti er evnen til at indsamle og analysere information om bevægelse af mennesker begyndt at indhente størrelsen og kompleksiteten af den moderne metropol i sig selv. Omkring det tidspunkt, hvor han tog jobbet hos CUSP, læste Koonin et papir om befolkningens eb og strømning i Manhattan forretningsdistrikt, baseret på en udtømmende analyse af offentliggjorte data om beskæftigelse, transit og trafikmønstre. Det var et godt stykke forskning, siger Koonin, men i fremtiden er det ikke sådan, det vil blive gjort. ”Folk har sporingsenheder i lommerne hele dagen lang, ” siger han. ”De kaldes mobiltelefoner. Du behøver ikke vente på, at et agentur offentliggør statistikker fra to år siden. Du kan få disse data næsten i realtid, blok for blok, time for time.
”Vi har erhvervet teknologien til at kende stort set alt, hvad der foregår i et bysamfund, ” tilføjer han, ”så spørgsmålet er, hvordan kan vi udnytte det til at gøre godt? Få byen til at køre bedre, forbedre sikkerhed og sikkerhed og promovere den private sektor? ”Her er et simpelt eksempel på, hvad Koonin forestiller sig, i den nærmeste fremtid. Hvis du f.eks. Beslutter, om du skal køre eller tage metroen fra Brooklyn til Yankee Stadium, kan du konsultere et websted for realtidsoverførselsdata og et andet til trafik. Derefter kan du tage et valg baseret på intuition og dine personlige følelser omkring afvekslingen blandt hurtighed, økonomi og bekvemmelighed. Dette i sig selv ville have virket mirakuløst selv for et par år siden. Forestil dig nu en enkelt app, der ville have adgang til disse data (plus GPS-placering af taxaer og busser langs ruten, kameraer, der undersøger stadionets parkeringspladser og Twitter-feeds fra folk, der sidder fast på FDR Drive), indtast dine præferencer og fortæller dig med det samme: Bliv hjemme og se spillet på tv.
Eller nogle lidt mindre enkle eksempler på, hvordan Big Data kan bruges. På et foredrag sidste år præsenterede Koonin et billede af et stort skår i Nedre Manhattan med vinduerne på ca. 50.000 kontorer og lejligheder. Det blev taget med et infrarødt kamera, og det kunne bruges til miljøovervågning, til at identificere bygninger eller endda individuelle enheder, der lækkede varme og spildt energi. Et andet eksempel: Når du bevæger dig rundt i byen, sporer din mobiltelefon din placering og den for alle du kommer i kontakt med. Koonin spørger: Hvordan vil du have en sms, der fortæller dig, at du i går var i et rum med en person, der netop checkede ind på skadestuen med influenza?
***
Inde i Matematikmuseet manipulerer børn og den lejlighedsvis voksne forskellige faste stoffer på en række skærme, roterer dem, udvider eller komprimerer eller vrider dem til fantastiske former og presser dem derefter ud i plast på en 3D-printer. De sidder inde i en høj cylinder, hvis base er en roterende platform, og hvis sider defineres af lodrette strenge; når de vrider platformen, deformeres cylinderen til en hyperboloid, en buet overflade, der på en eller anden måde er skabt af lige linjer. Eller de demonstrerer, hvordan det er muligt at have en jævn tur på en firhjulet trehjulet cykel, hvis du konturerer banen under den for at holde akslen niveau. Geometri, i modsætning til formel logik, som var Whitneys felt inden han gik til Wall Street, egner sig især godt til praktisk praktik og demonstration - selvom der også er udstillinger, der berører felter, han identificerer som ”beregning, beregning af variationer, differentielle ligninger, kombinatorik, grafteori, matematisk optik, symmetri og gruppeteori, statistik og sandsynlighed, algebra, matrixanalyse - og aritmetik. ”Det bekymrede Whitney, at i en verden med museer, der er viet ramen-nudler, ventriloquisme, græsslåmaskiner og blyanter, ” det meste af verden har aldrig set den rå skønhed og eventyr, der er matematikens verden. ”Det er det, han satte sig for at afhjælpe.
Som Whitney påpeger på de populære matematik-ture, han kører, har byen en karakteristisk geometri, som kan beskrives som besat af to og en halv dimension. To af disse er dem, du ser på kortet. Han beskriver halvdimensionen som et netværk af forhøjede og underjordiske gangbroer, veje og tunneler, der kun kan fås på bestemte punkter, som High Line, en forladt jernbanestabel, der er blevet omdannet til en hævet lineær park. Dette rum er analogt med et elektronisk printkort, hvor, som matematikere har vist, visse konfigurationer ikke kan opnås i et enkelt plan. Beviset er i det berømte “tre-hjælpepuslespil”, en demonstration af umuligheden af at dirigere gas, vand og elektrisk service til tre huse uden at nogen af linjerne krydser. (Du kan se dette selv ved at tegne tre bokse og tre cirkler og forsøge at forbinde hver cirkel til hver boks med ni linjer, der ikke krydser hinanden.) I et kredsløbskort for ledere at krydse uden at røre ved, må en af dem undertiden være forlade flyet. Bare i byen er du nogle gange nødt til at klatre op eller ned for at komme dit sted, du skal hen.
Whitney leder ud til byen, til Central Park, hvor han går på en sti, der for det meste overskygger bakker og declivities skabt af den seneste glaciation og forbedret af Olmsted og Vaux. På en bestemt klasse af kontinuerlige overflader - hvoraf parkområdet er en - kan du altid finde en sti, der forbliver på et niveau. Fra forskellige punkter i Midtown vises Empire State Building og forsvinder bag de interponerende strukturer. Dette bringer en teori, som Whitney har om skyskrabernes højde, i tankerne. Det er klart, store byer har flere høje bygninger end små byer, men højden på den højeste bygning i en metropol har ikke et stærkt forhold til dens befolkning; baseret på et stikprøve på 46 storbyområder verden over, har Whitney fundet, at den sporer regionens økonomi, tilnærmelsesvis ligningen H = 134 + 0, 5 (G), hvor H er højden på den højeste bygning i meter, og G er det bruttonegionale produkt i milliarder af dollars. Men byggehøjder begrænses af teknik, mens der ikke er nogen grænse for, hvor stor en bunke du kan tjene med penge, så der er to meget rige byer, hvis højeste tårne er lavere end formlen ville forudsige. De er New York og Tokyo. Hans ligning har heller ikke nogen betegnelse for "national stolthed", så der er et par udliggere i den anden retning, byer, hvis rækkevidde mod himlen overstiger deres forståelse af BNP: Dubai, Kuala Lumpur.
Der findes ingen by i rent euklidisk rum; geometri interagerer altid med geografi og klima og med sociale, økonomiske og politiske faktorer. I Sunbelt-metropoler, som f.eks. Phoenix, er andre ting ligesom de mere ønskelige forstæder øst for centrum, hvor du kan pendle begge veje med solen bag dig, mens du kører. Men hvor der er en fremherskende vind, er det bedste sted at bo (eller var i tiden før forureningskontrol) vindmølle af byens centrum, som i London betyder mod vest. Dybe matematiske principper ligger til grund for endda sådanne tilsyneladende tilfældige og historisk betingede kendsgerninger som fordelingen af byernes størrelse i et land. Der er typisk en største by, hvis befolkning er dobbelt så stor som den næststørste, og tre gange den tredjestørste, og stigende antal mindre byer, hvis størrelse også falder i et forudsigeligt mønster. Dette princip er kendt som Zipfs lov, der gælder på tværs af en lang række fænomener. (Blandt andre ikke-relaterede fænomener forudsiger det, hvordan indkomsterne er fordelt over økonomien og hyppigheden af ordets udseende i en bog.) Og reglen gælder, selvom enkelte byer bevæger sig op og ned i rangordet hele tiden - St. Louis, Cleveland og Baltimore, alle i top 10 for et århundrede siden, hvilket gør plads for San Diego, Houston og Phoenix.
Som West og hans kolleger er klar over, foregår denne forskning på baggrund af et enormt demografisk skift, den forudsagte bevægelse af bogstaveligt talt milliarder mennesker til byer i udviklingslandene i det næste halve århundrede. Mange af dem vil ende i slumområder - et ord, der uden dom beskriver uformelle bosættelser i udkanten af byer, generelt beboet af squatters med begrænset eller ingen offentlige tjenester. ”Ingen har foretaget en seriøs videnskabelig undersøgelse af disse samfund, ” siger West. ”Hvor mange mennesker bor i hvor mange strukturer på hvor mange kvadratfod? Hvad er deres økonomi? De data, vi har, fra regeringer, er ofte værdiløse. I det første sæt, vi fik fra Kina, rapporterede de ingen mord. Så du kaster det ud, men hvad har du tilbage med? ”
For at besvare disse spørgsmål har Santa Fe-instituttet med støtte fra Gates Foundation indledt et partnerskab med Slum Dwellers International, et netværk af samfundsorganisationer med base i Cape Town, Sydafrika. Planen er at analysere de data, der er indsamlet fra 7.000 bosættelser i byer som Mumbai, Nairobi og Bangalore, og begynde arbejdet med at udvikle en matematisk model for disse steder og en vej mod at integrere dem i den moderne økonomi. ”I lang tid har politiske beslutningstagere antaget, at det er en dårlig ting for byerne at blive større, ” siger Lobo. ”Du hører ting som” Mexico City er vokset som en kræft. ” Der er brugt en masse penge og kræfter på at stamme dette, og stort set er det mislykket. Mexico City er større end for ti år siden. Så vi mener, at beslutningstagere i stedet bør bekymre sig om at gøre disse byer mere levelige. Uden at glære forholdene på disse steder, tror vi, de er her for at blive, og vi tror, de har muligheder for de mennesker, der bor der. ”
Og man havde bedre håb om, at han har ret, hvis Batty har ret i at forudsige, at i slutningen af århundredet, praktisk talt hele verdens befolkning vil leve i det, der udgør ”en fuldstændig global enhed ... hvor det vil være umuligt at betragte enhver enkelt by adskilt fra sine naboer ... faktisk måske fra enhver anden by. ”Vi ser nu, i Bettencourts ord, ” den sidste store urbaniseringsbølge, som vi vil opleve på Jorden. ”Urbanisering gav verden Athen og Paris, men også Mumbai's kaos og fattigdommen i Dickens 'London. Hvis der er en formel til at sikre, at vi er på vej mod den ene snarere end den anden, håber West, Koonin, Batty og deres kolleger at være dem, der finder det.
