Hvis du er forælder til børn under 10 år, er chancerne meget gode for, at du er bekendt med et spil kaldet "Spot It!"
Spot It !, i sin karakteristiske runde tin er enormt populær - det er i top ti på Amazons liste over bedst sælgende kortspil lige der oppe med klassikere som Uno og Taboo. Mere end 12 millioner eksemplarer af spillet er solgt siden dets første udgivelse i 2009, med mere end 500.000 solgt hvert år i USA alene. Det bruges ofte i klasseværelser, vises på lister over uddannelsesmæssige spil, der fremmer kognitiv udvikling, og tale- og ergoterapeuter overalt i USA støtter det. Det er den slags spil, der får dig til at føle, at du gør noget godt for din hjerne, når du spiller det.
Den grundlæggende struktur i spillet er denne: bunken har 55 kort med otte symboler på hvert kort, der trækkes fra en bank på 57 symboler i alt. Hvis du vælger et hvilket som helst to kort tilfældigt, matcher et symbol altid. Spillet giver flere forskellige måder at spille på, men de hænger alle sammen med den hastighed, hvormed du ser kampen - de to osteblokke, blækpladerne, delfinerne, snemændene og så videre.
Men hvordan - hvordan !? - er det muligt, at hvert enkelt kort matcher et andet kort på kun én måde?
Det er ikke magi. Det er matematik.
**********
Historien om Spot It !, først og stadig offentliggjort som "Dobble" i Europa, begynder i 1850 Storbritannien. På det tidspunkt var Storbritannien midt i en slags matematisk renæssance. Efter en periode med relativ stagnation i den georgiske tid, syntes dronning Victoria's regering at fremstille en blomstring af matematiske rockestjerner, mennesker som Charles Babbage, George Boole, John Venn og Arthur Cayley. Dette var en æra med abstrakt matematisk filosofi og undersøgelse, med at fastlægge de matematiske principper, der undergik nutidig digital teknologi - uden disse fyre kunne moderne computing ikke eksistere.
Pastor Thomas Penyngton Kirkman var ikke en matematisk rockstjerne, ikke rigtig. Kirkman, som var en anglikansk præst med en bachelorgrad fra Trinity College i Dublin, tjente roligt et lille sogn i Lancashire, nord i England, i 52 år. Men han var intellektuelt nysgerrig - hans søn nekrolog for ham erklærede efter hans død i 1895, at Kirkmans vigtigste interesser var "studiet af ren matematik, den højere kritik af Det Gamle Testamente og spørgsmål om de første principper." Om de to sidste der er få poster tilbage. Af de første efterlod Kirkman imidlertid et katalog med omkring 60 større artikler om alt fra gruppeteori til polyhedral - skønt det meste blev offentliggjort i obskure tidsskrifter, fyldt med kompleks og til tider opfundet matematisk terminologi og lidt set - en under-værdsat arv, og mindst et meget interessant problem.
I 1850 indsendte Kirkman et puslespil til "The Ladies and Gentleman's Diary", et årligt rekreativt matematikmagasin, der tog indhold fra både amatører og professionelle matematikere. Spørgsmålet læste: ”Femten unge damer på en skole går tre aber i syv dage i rækkefølge: det er påkrævet at arrangere dem dagligt, så ingen to skal gå to gange på banen.” Kirkmans skolepigelproblem, som det blev kendt, var en spørgsmålet om kombinatorik, en gren af logik, der beskæftiger sig med kombinationer af objekter under specificerede kriterier. Du er sandsynligvis mere fortrolig med kombinatorik end du måske tror - det er matematikprincippet, der informerer Sudoku-net. (Og hvis du har taget LSATS'erne, er du bestemt bekendt med det - “Analytisk ræsonnement” handler om combinatorics.)
Kirkman havde faktisk løst problemet tre år tidligere, da han bestemte, hvor mange skolepiger han havde brug for for at få puslespillet til at fungere. Dette bevis var som svar på et spørgsmål, der blev stillet i det samme magasin i 1844: ”Bestem antallet af kombinationer, der kan laves af n symboler, p symboler i hver; med denne begrænsning, at ingen kombination af q-symboler, der kan forekomme i nogen af dem, skal gentages på nogen anden måde. ”Kirkman ekstrapolerede dette som et spørgsmål om uanmeldte par i tripletter, hvor han spurgte fra et vist antal elementer, hvor mange unikke tripletter kan du have det, før du begynder at gentage par? I sin bog fra 2006 om Kirkman-problemet, The Fifteen Schoolgirls, giver Dick Tahta flere eksempler på, hvordan problemet kan fungere: ”Du har syv venner, som du ønsker at invitere til middag i tre. Hvor mange gange kan du gøre dette, før to af dem samles en anden gang? ”I dette tilfælde er n = 7, p = 3 og q = 2.
Kirkmans bevis var hans første matematiske opgave, der blev præsenteret i december 1846, da han allerede var 40 år gammel. Det så ud til at være en løsning på et problem, som den berømte schweiziske geometer Jakob Steiner - hans ”tredobbelt system” - en række unikke undergrupper på tre - udgjorde omkring seks år, før Steiner foreslog det. Men den generelle løsning - princippet bag, hvorfor det fungerer og at vise, at det fungerer hele tiden - ville ikke blive regnet ud før i 1968, hvor matematikere Dijen Ray-Chaudhuri og hans daværende studerende, Richard Wilson, ved Ohio State University, samarbejdede om et teorem for at bevise det.
”Kirkman blev så vidt vi ved drevet bare af nysgerrighed. Men som så ofte sker i matematik, viste det sig, at hans ideer havde meget bred anvendelse. I statistik brugte Sir Ronald Fisher dem til at fremstille eksperimentelle design, der sammenligner ethvert par af de foreslåede behandlinger på en optimal måde. De opstår også i teorien om fejlkorrektionskoder, som de bruges i kommunikation mellem computere, satellitter osv. ”, Skriver Peter Cameron, en matematiker ved University of St. Andrews, i en e-mail. "En yderligere applikation viser sig at være kortspil."
Spot det!
The Smash Hit Party Game. Spot det! er det vanedannende, feberligt sjovt matchende spil til enhver generation. Den første ting at vide om Spot it! er, at der altid er et, og kun et, matchende symbol mellem to kort. Forstået? Nu skal du blot have et skarpt øje og en hurtig hånd til at spille alle fem partyspil pakket i grabben. Herunder op til otte spillere, Spot it! er en spids for at lære, spiller hurtigt og er uimodståelig sjov for alle aldre. Når du "spot", stopper sjovet ikke. Enkel at lære, en udfordring at vinde.
KøbeMen endnu ikke. Ray-Chaudhuri og Wilsons generelle løsning havde inspireret en bølge af interesse for Kirkmans Schoolgirl Problem, ikke mindst fordi dens anvendelser inden for det spirende felt inden for kodning og beregning. Blandt dem, der blev fanget, var en ung fransk matematikentusiast kaldet Jacques Cottereau. Dette var 1976, og Cottereau blev inspireret af relativt nye teorier om fejlkorrektionskoder og af principperne for det, der kaldes "ufuldstændige afbalancerede blokke", hvor et endeligt sæt elementer er arrangeret i undergrupper, der tilfredsstiller visse "balance" -parametre, en koncept, der ofte bruges til at designe eksperimenter.
Cottereau ville komme med en model for at få puslespillet til at fungere i enhver kombination, og han ville have, at det skulle være sjovt . Han indså hurtigt, at principperne i løsningen ikke behøver at være tal eller skolepiger. Til sin genindtænkning af Schoolgirl Problemet designede Cottereau et "spil med insekter": Et sæt på 31 kort med seks billeder af insekter, nøjagtigt et billede, der deles mellem hver af dem. "Insektespil", en begrænset version af hvad Spot It! ville dog dog aldrig komme forbi Cottereaus stue og tilbragte de næste 30 år på at samle støv.
Cottereau var hverken en professionel matematiker eller en spilproducent; han var bare en hobby, der havde en "passion for dette specifikke domæne", ifølge Dobbles medopfinder, Denis Blanchot. Blanchot er heller ikke en matematiker - han er journalist inden for erhvervslivet - men han synes godt om at skabe og designe spil. I 2008 kom Blanchot over et par af kortene fra spillet med insektsæt - Cottereau er Blanchots svigerers far - og så i dem frøene fra et underholdende spil.
”Han havde ideen om at oversætte det til kort. Jeg forvandlede det til et sandt spil, hastighed og sjov, ”siger Blanchot via Facebook-messenger. De forestillede sig, at spillet, som de kaldte Dobble, ville være for alle, ikke kun for børn.
Blanchot arbejdede med illustrationer til prototypen, en blanding af dyr, tegn og genstande, hvoraf nogle stadig er en del af spillet nu, og efter mange playtests regnede de ud forskellige tilgange til gameplay. Spillet Dobble, så navngivet som et skuespil på ordet “dobbelt”, der blev lanceret i Frankrig i 2009 under udgiverne Play Factory, derefter i Tyskland i 2010. Samme år solgte Blanchot og Cottereau spillet til Play Factory. En indsats, der er inkluderet i spillets emballage siden 2016, viser Blanchot og Cottereau som skabere, "med hjælp fra Play Factory Team", skønt de to ikke længere er involveret i spillet.
Dobble blev frigivet i England og Nordamerika, som Spot It !, i 2011, til temmelig øjeblikkelig succes. Asmodee erhvervede de verdensomspændende rettigheder til spillet fra Play Factory og den amerikanske distributør, Blue Orange, i 2015. Nu er spillet blevet offentliggjort med mere end 100 forskellige temaer, herunder National Hockey League, "hip" (snor og cykler), og Pixars Finding Dory . De har oprettet versioner med spansk og fransk ordforråd, med alfabetet og numrene, og kort med Disney-prinsesser og Star Wars . De første udgivere af spillet skabte endnu en gang en version for det franske politi ved hjælp af vejbanesymboler - og en vinflaske, siger Jon Bruton, køber for Asmodee Europe: "De sagde, at det var en påmindelse om ikke at drikke og køre."
Ben Hogg, marketingchef for Asmodee Europe, tilskrev spillet succes - det er det mest populære kortspil i England i år - til dets lette spil. ”Folk kan lære, hvordan man spiller næsten med det samme. De kan spille det ekstraordinært godt, men de kan ikke mestre det, ”sagde han. "Det er et af disse spil, du kan vise folk, og med det samme får de det, de ser, hvad der er sjovt ved det."
**********
Men de fleste af de mennesker, der spiller, forstår ikke nøjagtigt, hvorfor det fungerer. Spot det! kan være let at spille, men matematikken bag det er overraskende kompliceret.
Mest enkelt er spillet baseret på Euclids princip om, at to linjer på et uendeligt, todimensionelt plan kun vil dele et enkelt punkt til fælles. I det 18. og 19. århundrede informerede euklidisk geometri grundlaget for moderne algebra ved hjælp af Rene Descartes, der tildelte disse punkter koordinater, så punkter var ikke længere fysiske placeringer; de kunne blive tal og senere systemer med numre. Med henblik på Kirkmans Schoolgirl Problem, forklarer Cameron, "tænk på piger som 'point' og grupper af tre piger som 'linjer.' Euclids aksiom er tilfreds. ... Den vanskeligere del af problemet er at opdele de 35 grupper i 7 klynger på 5, så hver pige optræder en gang i hver klynge. I Euclids termer er det som at tilføje forholdet mellem parallelisme og opsætningen. ”
Kirkmans problem, og derfor Spot It! S løsning, lever i området endelig geometri. ”Den mest basale af disse geometrier har q2-point med q-punkter på hver linje, hvor q er antallet af elementer i det valgte talesystem eller felt. En lille variant giver q 2 + q + 1 point med q + 1 point på hver linje, ”skriver Cameron.
Fano-flyet, opkaldt efter den italienske matematiker Gino Fano, er en struktur i begrænset geometri, hvor syv punkter er forbundet med syv linjer (inklusive cirklen i midten). Hvert punkt har nøjagtigt tre linjer, der mødes, og hver linje krydser nøjagtigt tre punkter. Hvis punkterne repræsenterede billeder, og linjerne var kort i Spot It !, der hver kun indeholdt de billeder, linjen rører ved, ville der være syv kort med tre billeder hver, og ethvert to kort ville kun dele et billede. Det samme koncept kan skaleres op for et fuldt dæk. (Public Domain) Så hvad betyder dette for Spot It? ”Lad os tage en af disse geometrier og prøve at omdanne den til et kortspil. Hvert kort betragtes som et punkt og bærer et antal symboler, der repræsenterer linjerne, der indeholder dette punkt. I betragtning af to kort vil der kun være et symbol, de har til fælles, svarende til den unikke linje gennem de to punkter, ”sagde Cameron.
Når q er syv i formlen, kan vi bestemme, at der er 57 point (7 2 + 7 + 1), med otte punkter (7 + 1) på hver linje. ”Så vi kan lave en pakke med 57 kort med otte symboler på hvert kort og ethvert to kort, der har nøjagtigt et symbol til fælles. Der er i det væsentlige spillet! ”Siger Cameron.
Bemærk dog Spot It! indeholder ikke 57 kort, det indeholder kun 55. En teori om de manglende to kort er, at fabrikanterne brugte almindeligt kortfremstillingsmaskineri, og standarddæk med kort indeholder 55 kort — 52 kortspil, to Jokere og reklame. ”Intet problem, ” skrev Cameron. ”Lav 57 kort, og tab to af dem; de resulterende 55 vil stadig have den egenskab, som enhver to deler kun et symbol. Uanset hvor mange kort du mister, vil denne ejendom stadig have. ”
**********
Selvfølgelig behøver du ikke at forstå, hvordan det fungerer at nyde at spille spillet. Men at prøve at finde ud af det kunne være en indgangsport til forståelse eller tænkning om matematik på nye måder. Før Jon Bruton blev køber for Asmodee, var han matematiklærer på en gymnasium i Hampshire, England. Han brugte Dobble i sine klasseværelser, først fik børnene til at spille spillet - og fik dem derefter til at designe deres egne versioner.
”Det var en, der stort set alle kunne få succes på et indledende niveau… Ideen var et udgangspunkt for at se på kombinatorik og matrixer, det var en krok, ” siger han. ”De fleste børn kunne designe et eller to sæt, udfordringen ville være at sidde rundt og spørge, hvordan kunne jeg faktisk få dette arbejde til?”
At finde ud af, hvordan man får det til at fungere, især ud over sæt på to eller tre, er svært at gå. Så sikker på, at du kunne købe spillet denne feriesæson - og du ville have en masse temmelig sjove tematiske indstillinger - men hvad nu hvis du lavede dine egne?
